Neste trabalho foi desenvolvida uma eficiente e rápida técnica de camada equivalente para o processamento de dados de campos potenciais usando um método de convolução discreta que modifica o cálculo do problema direto dos métodos iterativos baseado em um vínculo de excesso de massa para o caso gravimétrico e o algoritmo do gradiente conjugado por mínimos quadrados para o caso magnético. Aproveitando das estruturas block-Toeplitz Toeplitz-block (BTTB) da matriz de sensibilidade, que surge quando grids de observações e de fontes equivalentes (pontos de massa ou dipolos) são regulares, desenvolvemos um algoritmo que reduz drasticamente o número de cálculos de pontos flutuantes (flops) e de memória RAM necessária para estimar a distribuição de propriedade física 2D sobre a camada equivalente. A estrutura da matriz BTTB pode ser escrita usando somente a primeira coluna da matriz de sensibilidade, que pode ser transformada em uma matriz block-circulant circulant-block (BCCB). Similarmente, somente a primeira coluna da matriz BCCB é necessária para reconstrui- la. Usando a primeira coluna da BCCB também é possível calcular seus autovalores por uma transformada de Fourier 2D (2D FFT), que pode ser usada para calcular rapidamente o problema direto da camada equivalente. Como resultado, este método pode ser usado para processar grandes conjuntos de dados de forma eficiente. Testes com dados sintéticos mostram que o método estima as fontes equivalentes de forma satisfatória para técnicas de processamento, como por exemplo, a continuação para cima de dados gravimétricos e magnéticos. Os resultados mostram efeitos de borda e de ruído muito reduzidos comparados ao método tradicional no domínio de Fourier. Para o caso gravimétrico, os testes sintéticos mostram que para processar 1.000.000 de observações, este método precisou de aproximadamente 30,9 segundos, enquanto que o método iterativo com vínculo de massa levou aproximadamente 46,8 segundos com apenas 22.500 observações. Um teste com o dado real da Província de Carajás, Brasil, mostra o baixo custo computacional deste método para processar grandes volumes de dados, usando 250.000 observações. Testes sintéticos com dados magnéticos mostram uma diminuição da ordem de aproximadamente 10.000 vezes em flops e aproximadamente 25 vezes em tempo computacional com um grid de tamanho médio de 100 × 50 se comparado o método clássico da solução de sistemas lineares das equações normais por mínimos quadrados usando o método da decomposição de Cholesky. Resultados ainda melhores são obtidos usando milhões de dados, mostrando um decréscimo exponencial no uso de memória RAM e de custo computacional, permitindo o uso deste método em computadores pessoais. Os resultados mostram, comparado ao método de Fourier, que o processamento magnético requer tempo computacional similar, mas produz menores efeitos de borda sem usar nenhum tipo de padding e também se mostrando muito mais robusta para lidar com dados irregulares ou superfícies onduladas. Um teste com 1.310.000 dados irregularmente espaçados da Província de Carajás, Brasil, confirma com sucesso este método levando aproximadamente 385,56 segundos para estimar a distribuição de propriedade física e aproximadamente 2,64 segundos para calcular a continuação para cima.
We have developed an efficient and very fast equivalent-layer technique for gravity and magnetic data processing by modifying the forward problem calculation of an iterative method grounded on excess mass constraint that does not require the solution of linear systems and of the conjugate gradient least squares algorithm, respectively, using a discrete convolutional method. Taking advantage of the Block- Toeplitz Toeplitz-block (BTTB) structure of the sensitivity matrix, that raises when regular grids of observation points and equivalent sources (point masses or dipoles) are used to set up a fictitious equivalent layer, we have developed an algorithm which greatly reduces the number of floating-point operations (flops) and computer memory necessary to estimate a 2D physical property distribution over the equivalent layer. The structure of the BTTB matrix can be written by using only the elements of the first column of the sensitivity matrix, which in turn can be transformed into a block-circulant circulant-block (BCCB) matrix. Likewise, only the first column of the BCCB matrix is needed to reconstruct the full sensitivity matrix completely. Also, from the first column of BCCB matrix, its eigenvalues can be calculated using the 2D Fast Fourier Transform (2D FFT), which can be used to readily compute the matrix-vector product of the forward modeling in the fast equivalent-layer technique. As a result, our method is efficient to process very large datasets. Tests with synthetic data demonstrate the ability of our method to satisfactorily use the estimated equivalent sources for data processing, for example, upward-continuing the gravity and magnetic data. Our results show very small border effects and noise amplification compared to those produced by the classical approach in the Fourier domain. For the gravity case, our synthetic results show that while the running time of our method is ≈ 30.9 seconds for processing N = 1, 000, 000 observations, the iterative method grounded on excess mass constrain spent ≈ 46.8 seconds with N = 22, 500. A test with field data from Caraj ́as Province, Brazil, illustrates the low computational cost of our method to process a large data set composed of N = 250, 000 observations. Synthetic tests for magnetic data with a mid-size 100×50 grid of total field anomaly data show a decrease of ≈ 104 in floating-point operations and ≈ 25x in computation runtime of our method compared to the classical approach of solving the least-squares normal equations via Cholesky decomposition. Faster results are obtained for millions of data, showing drastic decreases in computer memory usage and runtime, allowing to perform magnetic data processing of large data sets on regular desktop computers. Our results also show that, compared to the classical Fourier approach, the magnetic data processing with our method requires similar computation time, but produces significantly smaller border effects without using any padding scheme and also is more robust to deal with data on irregularly spaced points or on undulating observation surfaces. A test with 1, 310, 000 irregularly spaced field data over the Caraj ́as Province, Brazil, confirms the efficiency of our method by taking ≈ 385.56 seconds to estimate the physical-property distribution over the equivalent layer and ≈ 2.64 seconds to compute the upward-continuation.
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